Question

1．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最小值1和最大值4，設(shè)f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-kx≥0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有解．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可求出二次函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為x=1，從而判斷出g（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，從而有$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，這樣即可求出a=1，b=0；
（2）根據(jù)條件可得$1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}≥k$在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有解，可設(shè)$h（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$，$h′（x）=\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，這樣便可得到h（$\frac{1}{2}$）=1為h（x）在[$\frac{1}{2}，2$]上的最大值，從而求出k≤1，即得出k的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）的對(duì)稱軸為x=1；
∵a＞0；
∴g（x）在[2，3]上單調(diào)遞增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1+b=1}\\{g（3）=3a+1+b=4}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）g（x）=x²-2x+1，$f（x）=x+\frac{1}{x}-2$；
∴由f（x）-kx≥0得，$1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}≥k$在區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上有解；
設(shè)h（x）=$1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$，$h′（x）=-\frac{2}{{x}^{3}}+\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$；
∴$x∈[\frac{1}{2}，1）$時(shí)，h′（x）＜0，x∈（1，2]時(shí)，h′（x）＞0；
∴x=1時(shí)，h（x）取最小值，又x=$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）=1，x=2時(shí)，h（x）=$\frac{1}{4}$；
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為1；
∴1≥k；
即k≤1；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的方法，注意正確求導(dǎo)．