3．若${（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^n}$的二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和是64，則n=6，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15．（用數(shù)字作答）

分析 首先由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)列式求得n值，再寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)并整理，由x得指數(shù)為0求得r值，則答案可求．

解答 解：由題意知：2n=64，即n=6；
則$（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{n}=（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{6}$，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}（\sqrt{x}）^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}=（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{3-\frac{3r}{2}}$．
令3-$\frac{3r}{2}=0$，得r=2．
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為$（-1）^{2}{C}_{6}^{2}=15$．
故答案為：6；15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是基礎(chǔ)題．

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15．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，以A為圓心，AC為半徑，沿逆時(shí)針方向畫圓弧，交BA延長(zhǎng)線于A1，記弧CA1的長(zhǎng)為l1；以B為圓心，BA1為半徑，沿逆時(shí)針方向畫圓弧，交CB延長(zhǎng)線于A2，記弧A1A2的長(zhǎng)為l2；以C為圓心，CA2為半徑，沿逆時(shí)針方向畫圓弧，交AC延長(zhǎng)線于A3，記弧A2A3的長(zhǎng)為l3，則l1+l2+l3=4π．如此繼續(xù)以A為圓心，AA3為半徑，沿逆時(shí)針方向畫圓弧，交AA1延長(zhǎng)線于A4，記弧A3A4的長(zhǎng)為l4，…，當(dāng)弧長(zhǎng)ln=8π時(shí)，n=12．

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