Question

14．設(shè)集合M={-1，0，1}，集合A_n={（x₁，x₂，x₃，…，x_n）|x_i∈M，i=1，2…，n}，集合A_n中滿足條件“1≤|x₁|+|x₂|+…+|x_n|≤m”的元素個數(shù)記為${S}_{m}^{n}$．
（1）求${S}_{2}^{2}$和${S}_{2}^{4}$的值；
（2）當(dāng)m＜n時，求證：${S}_{m}^{n}$＜3ⁿ+2^m+1-2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計算${S}_{2}^{2}$=${C}_{2}^{1}$•2¹+${C}_{2}^{2}$•2²，${S}_{2}^{4}$=${C}_{4}^{1}$•2¹+${C}_{4}^{2}$•2²；
（2）設(shè)集合P={0}，Q={-1，1}，分別求出|x₁|+|x₂|+…+|x_n|=1，2，…，m時，x₁，x₂，…，x_n中有多少個取自集合P，多少個取自集合Q，
計算對應(yīng)${S}_{m}^{n}$的值，再利用組合數(shù)公式即可證出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，${S}_{2}^{2}$=${C}_{2}^{1}$•2¹+${C}_{2}^{2}$•2²=8，
${S}_{2}^{4}$=${C}_{4}^{1}$•2¹+${C}_{4}^{2}$•2²=32；
（2）設(shè)集合P={0}，Q={-1，1}，
若|x₁|+|x₂|+…+|x_n|=1，即x₁，x₂，…，x_n中有n-1個取自集合P，1個取自集合Q，
故共有${C}_{n}^{n-1}$•2¹種可能，即為${C}_{n}^{1}$•2¹；
同理，若|x₁|+|x₂|+…+|x_n|=2，即x₁，x₂，…，x_n中有n-2個取自集合P，2個取自集合Q，
故共有${C}_{n}^{n-2}$•2²種可能，即為${C}_{n}^{2}$•2²；
…，
若|x₁|+|x₂|+…+|x_n|=m，即x₁，x₂，…，x_n中有n-m個取自集合P，m個取自集合Q，
故共有${C}_{n}^{n-m}$•2^m種可能，即為${C}_{n}^{m}$•2^m；
所以${S}_{m}^{n}$=${C}_{n}^{1}$2¹+${C}_{n}^{2}$2²+…+${C}_{n}^{m}$2^m；
又當(dāng)0≤k≤n時，${C}_{n}^{k}$≥1，所以${C}_{n}^{k}$-1≥0，
所以${S}_{m}^{n}$=${C}_{n}^{1}$2¹+${C}_{n}^{2}$2²+…+${C}_{n}^{m}$2^m＜${C}_{n}^{0}$2⁰+（${C}_{n}^{1}$2¹+${C}_{n}^{2}$2²+…+${C}_{n}^{m}$2^m）+（${C}_{n}^{m+1}$-1）•2^m+1+…+（${C}_{n}^{n}$-1）•2ⁿ
=（${C}_{n}^{0}$2⁰+${C}_{n}^{1}$2¹+${C}_{n}^{2}$2²+${C}_{n}^{m+1}$2^m+1+…+${C}_{n}^{n}$2ⁿ）-（2^m+1+2^m+2+…+2ⁿ）
=（1+2）ⁿ-（2^m+1-2ⁿ⁺¹）
=3ⁿ+2^m+1-2ⁿ⁺¹．
即${S}_{m}^{n}$＜3ⁿ+2^m+1-2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了集合的定義與應(yīng)用問題，考查了數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用問題，是難題．