Question

8．（1）有時(shí)一個式子可以分拆成兩個式子，求和時(shí)可以達(dá)到相消化簡的目的，如我們初中曾學(xué)
過：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+$…+$\frac{1}{99×100}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$
請用上面的數(shù)學(xué)思維來證明如下：$\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+\frac{1}{sin16x}$+$\frac{1}{sin32x}$=cotx-cot32x（注意：cotx=$\frac{cosx}{sinx}$）
（2）當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，且$\frac{sin8x-sinx}{sinxsin8x}$=$\frac{sin4x+sin2x}{sin2xsin4x}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由cotx-cot2x=$\frac{cosx}{sinx}$-$\frac{cos2x}{sin2x}$=$\frac{1}{sin2x}$，裂項(xiàng)即可得證．
（2）由（1）化簡已知等式可得cot$\frac{x}{2}$-cotx=cotx-cot8x，由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得tan$\frac{x}{2}$=-cot8x，從而可求8x=90°+$\frac{x}{2}$+180°•k，即可解得x的值．

解答 解：（1）證明：∵cotx-cot2x=$\frac{cosx}{sinx}$-$\frac{cos2x}{sin2x}$=$\frac{2co{s}^{2}x-（2co{s}^{2}x-1）}{sin2x}$=$\frac{1}{sin2x}$，
∴$\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+\frac{1}{sin16x}$+$\frac{1}{sin32x}$
=（cotx-cot2x）+（cot2x-cot4x）+（cot4x-cot8x）+（cot8x-cot16x）+（cot16x-cot32x）
=cotx-cot32x，即可得證．
（2）∵$\frac{sin8x-sinx}{sinxsin8x}$=$\frac{sin4x+sin2x}{sin2xsin4x}$，∴$\frac{1}{sinx}$=$\frac{1}{sin2x}$+$\frac{1}{sin4x}$+$\frac{1}{sin8x}$，
∴由（1）可得：cot$\frac{x}{2}$-cotx=cotx-cot8x，
cot$\frac{x}{2}$=2cotx-cot8x，
cot$\frac{x}{2}$-2cotx=-cot8x，
cot$\frac{x}{2}$-2×$\frac{1-co{t}^{2}\frac{x}{2}}{cot\frac{x}{2}}$=-cot8x，
∴tan$\frac{x}{2}$=-cot8x
∴8x=90°+$\frac{x}{2}$+180°•k
∴x=12°+24°•k
∴x=12°，36°，60°，84°．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，簡單的類比推理，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．