Question

3．若曲線C在頂點(diǎn)為O的角α的內(nèi)部，A、B分別是曲線C上相異的任意兩點(diǎn)，且α≥∠AOB，我們把滿足條件的最小角α叫做曲線C相對點(diǎn)O的“確界角”．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的方程為y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1+{x}^{2}}，x≥0}\\{2-\sqrt{1-{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，那么它相對點(diǎn)O的“確界角”等于（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{5π}{12}$
• C． $\frac{7π}{12}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點(diǎn)O作出兩條直線與曲線相切；再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“確界角”．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點(diǎn)O作出兩條直線與曲線相切或曲線的漸近線，

設(shè)它們的方程分別為y=k₁x，y=k₂x，
當(dāng)x≥0時，y′=f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
∵$\lim_{n→+∞}\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$=1，
∴漸近線y=k₁x的傾斜角為$\frac{π}{4}$，
當(dāng)x＜0時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
設(shè)切點(diǎn)為（n，2-$\sqrt{1-{n}^{2}}$），
則對應(yīng)的切線方程為y-（2-$\sqrt{1-{n}^{2}}$）=$\frac{n}{\sqrt{1-{n}^{2}}}$（x-n），
令x=0，y=0，則-（2-$\sqrt{1-{n}^{2}}$）=$\frac{-{n}^{2}}{\sqrt{1-{n}^{2}}}$，
解得n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則y=k₂x的斜率k₂=f′（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$，
則切線y=k₂x的傾斜角$\frac{2π}{3}$，
由兩直線的夾角θ=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查新定義“確界角”及應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．