Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x}，x＞0}\\{-x^2-6x-8，x≤0}\end{array}\right.$，則方程g[f（x）]-1=0的根的個數(shù)為（　�。�

• A． 3個
• B． 4個
• C． 5個
• D． 6個

Answer 1

分析 令t=f（x），則g（t）=1，解得t的值，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：令t=f（x），則g（t）=1，
當(dāng)t＞0時，由g（t）=1得t+$\frac{1}{4t}$=1，即4t²-4t+1=0，即（2t-1）²=0，即t=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t≤0，由g（t）=1得-t²-6t-8=1，即（t+3）²=0，即t=-3，
函數(shù)f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極大值f（0）=1，
當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值f（2）=-3，
則當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{2}$，有3個根，
當(dāng)t=-3時，f（x）=-3，有2個根，
共有3+2=5個，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．