Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{2}$（x∈R）．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程
（Ⅱ）當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中實(shí)數(shù)k為參數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)于t的不等式$\sqrt{2}$k-5g（t）≤0有解．若對(duì)任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍
參考公式：sinα-cosα=$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程．
（Ⅱ）當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，分類(lèi)討論求得M（t） 和m（t），可得g（t）的解析式．
（Ⅲ）由題意可得函數(shù)H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集，分類(lèi)討論求得k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{2}$（x∈R），
它的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
由$\frac{πx}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=2k+1，k∈Z，可得
f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2k+1，k∈Z．
（Ⅱ）當(dāng)t∈[-2，0]時(shí)，
①若t∈[-2，-$\frac{3}{2}$），在區(qū)間[t，t+1]上，
M（t）=f（t）=sin$\frac{πt}{2}$，m（t）=f（-1）=-1，
g（t）=M（t）-m（t）=1+sin$\frac{πt}{2}$．
②若t∈[-$\frac{3}{2}$，-1），在區(qū)間[t，t+1]上，
M（t）=f（t+1）=sin$\frac{π}{2}$（t+1）=cos$\frac{π}{2}$t，m（t）=f（-1）=-1，
g（t）=M（t）-m（t）=1+cos$\frac{πt}{2}$．
③若t∈[-1，0]，在區(qū)間[t，t+1]上，
M（t）=f（t+1）=sin$\frac{π}{2}$（t+1）=cos$\frac{π}{2}$t，m（t）=f（t）=sin$\frac{π}{2}$t，
g（t）=M（t）-m（t）=cos$\frac{π}{2}$t-sin$\frac{πt}{2}$．
綜上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sin\frac{π}{2}t，t∈[-2，-\frac{3}{2}）}\\{1+cos\frac{π}{2}t，t∈[-\frac{3}{2}，-1）}\\{cos\frac{πt}{2}-sin\frac{πt}{2}，t∈[-1，0]}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）=sin$\frac{πx}{2}$的最小正周期為4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．
函數(shù)h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，
對(duì)任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，
即函數(shù)H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集．
∵h(yuǎn)（x）=|2^|x-k|=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-k}，x≥k}\\{{2}^{k-x}，x＜k}\end{array}\right.$，
①當(dāng)k≤4時(shí)，h（x）在（-∞，k）上單調(diào)遞減，在[k，4]上單調(diào)遞增．故h（x）的最小值為h（k）=1；
∵H（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，故H（x）的最小值為H（4）=8-2k．
由8-2k≥1，求得k≤$\frac{7}{2}$．
②當(dāng)4＜k≤5時(shí)，h（x）在（-∞，4]上單調(diào)遞減，h（x）的最小值為h（4）=2^k-4，
H（x）在[4，k]上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，
故H（x）的最小值為H（k）=2k-8，由$\left\{\begin{array}{l}{4＜k≤5}\\{2k-8{≥2}^{k-4}}\end{array}\right.$，求得k=5，
綜上可得，k的范圍為（-∞，$\frac{7}{2}$]∪{5}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，指數(shù)函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的能成立、函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于難題．