Question

10．${∫}_{-1}^{1}$（1-sin⁵x+xcos2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=2+$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用定積分運(yùn)算法則、換元法、函數(shù)奇偶性求解．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$（1-sin⁵x+xcos2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx
=${∫}_{-1}^{1}dx$+${∫}_{-1}^{1}（-si{n}^{5}x+xcos2x）dx$+${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$
∵${∫}_{-1}^{1}dx=2$，
由y=-sin⁵x+xcos2x為奇函數(shù)，得${∫}_{-1}^{1}（-si{n}^{5}x+xcos2x）dx$=0，
設(shè)x=sinθ，${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}co{s}^{2}θdθ$=$\frac{1}{2}{∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（1+cos2θ）dθ$=$\frac{π}{2}$，
∴原式=2+0+$\frac{π}{2}$=2+$\frac{π}{2}$．
故答案為：2+$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意定積分運(yùn)算法則和換元法的合理運(yùn)用．