Question

20．已知f（x）=x+1，g（x）=2x+1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}_{n}），n為奇數(shù)}\\{g（{a}_{n}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，則a₂₀₁₆=（　�。�

• A． 2²⁰¹⁶-2016
• B． 2¹⁰⁰⁷-2016
• C． 2²⁰¹⁶-2
• D． 2¹⁰⁰⁹-2

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}_{n}），n為奇數(shù)}\\{g（{a}_{n}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，可得a₂=f（a₁）=2，n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時(shí)，a_2k+1=g（a_2k）=2a_2k+1；n=2k-1（k∈N^*）為偶數(shù)時(shí)，a_2k=f（a_2k-1）=a_2k-1+1．可得a_2k+2=a_2k+1+1=2a_2k+2，變形為a_2k+2+2=2（a_2k+2），再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}_{n}），n為奇數(shù)}\\{g（{a}_{n}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
a₂=f（a₁）=f（1）=2，
n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時(shí)，a_2k+1=g（a_2k）=2a_2k+1；
n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時(shí)，a_2k=f（a_2k-1）=a_2k-1+1．
∴a_2k+2=a_2k+1+1=2a_2k+2，
變形為a_2k+2+2=2（a_2k+2），
∴數(shù)列{a_2k+2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
∴a_2k+2=4×2^k-1，
∴a_2k=2^k+1-2．
∴a₂₀₁₆=2¹⁰⁰⁹-2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．