如圖，△ABC的外接圓⊙O的半徑為5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=
101
101
．
（1）求證：平面AEC⊥平面BCED；
（2）試問線段DE上是否存在點M，使得直線AM與平面ACE所成角的正弦值為
2
21
21
？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）由已知得BD⊥AB，AD=
101
，AB=10=直徑，由此能證明平面AEC⊥平面BCED．
（2）以C為原點，直線CA為x軸，CB為y軸，CE這z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段DE上存在點M，且
DM
=
1
3
DE
時，使得直線AM與平面ACE所成角的正弦值為
2
21
21
．
解答： （1）證明：∵BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos∠ADB=
101
101
，
∴AD=
101
，AB=10=直徑，
∴AC⊥BC，又EC⊥平面ACE，BC?平面BCED，
∴平面AEC⊥平面BCED．
（2）解：存在．
如圖，以C為原點，直線CA為x軸，CB為y軸，CE這z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），
AD
=（-8，6，1），
DE
=（0，-6，3），
設(shè)
DM
=λ
DE
=（0，-6λ，3λ），0＜λ＜1，
故
AM
=
AD
+
DM
=（-8，6-6λ，1+3λ），
由（1）得平面ACE的法向量為
CB
=（0，6，0），
設(shè)直線AM與平面CE所成角為θ，
則sinθ=
|
AM
•
CB
|
|
AM
|•|
CB
|
=
36-36λ
64+36(1-λ)2+(1+3λ)2
•6
=
2
21
21
，
解得λ=
1
3
．
∴線段DE上存在點M，且
DM
=
1
3
DE
時，
使得直線AM與平面ACE所成角的正弦值為
2
21
21
．
點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a，b，c＞0，求證：
（Ⅰ）
a2+b2
ab
+
b2+c2
bc
+
c2+a2
ca
≥6；   
（Ⅱ）
a+b
2
•
b+c
2
•
c+a
2
≥abc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）；
（2）證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）如果f（
1
6
）=-1，求滿足不等式f（x+2）-f（
1
x+3
）≥2的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
（1）f（x）=ex•（cosx+sinx）；
（2）f（x）=
2sinx
1+x2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PAB是等邊三角形，E、F、G分別是AB、PD、PC的中點．
（1）求證：FG∥平面PAB；
（2）求證：平面PEC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，A=60°，a=
13
．
（1）若S△ABC=
3
，求b，c的值；
（2）若△ABC是銳角三角形時，求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三形的三個頂點A（4，0），B（6，7），C（0，3）；
（1）求BC邊的垂直平分線的方程；
（2）求三角形ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，若AC⊥BC，BC=a，AC=b，則△ABC的外接圓半徑為r=
a2+b2
2
，將此結(jié)論類比到空間，可得到正確的結(jié)論：在四面體S-ABC中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，則四面體S-ABC的外接球半徑為R=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2-y2=1有一個交點，則k=
 
．

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同步練習(xí)冊答案