Question

14．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大．
（Ⅰ）求該展開式中所有有理項的項數(shù)；
（Ⅱ）求該展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知$\frac{n}{2}+1=6$，可得n=10，只需令該展開式中x的系數(shù)為整數(shù)可得；
（Ⅱ）設(shè)第T_r+1項的系數(shù)最大，可得關(guān)于r的不等式組，解不等式組可得r的范圍，可得系數(shù)最大的項．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知$\frac{n}{2}+1=6$，解得n=10，
∴${T_{r+1}}=C_{10}^r{x^{\frac{10-r}{2}}}{2^r}{x^{-2r}}=C_{10}^r{2^r}{x^{\frac{10-5r}{2}}}$，（0≤r≤10，且r∈N），
要求該展開式中的有理項，只需令$\frac{10-5r}{2}∈Z$，
∴r=0，2，4，6，8，10，∴有理項的項數(shù)為6項；
（Ⅱ）設(shè)第T_r+1項的系數(shù)最大，
則$\left\{\begin{array}{l}C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r-1}{2^{r-1}}\\ C_{10}^r{2^r}≥C_{10}^{r+1}{2^{r+1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{11-r}\\ \frac{1}{10-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$，
解不等式可得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{3}$，
∵r∈N，∴r=7，
∴展開式中的系數(shù)最大的項為${T_8}=C_{10}^7{2^7}{x^{\frac{-25}{2}}}=15360{x^{\frac{-25}{2}}}$

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，涉及不等式的解法和組合數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．