Question

8．已知m≥0，函數(shù)f（x）=2|x-1|-|2x+m|的最大值為3．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a-2b+c=m，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式，可得f（x）_max=m+2，結(jié)合數(shù)f（x）=2|x-1|-|2x+m|的最大值為3，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）根據(jù)柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+1²]≥（a-2b+c）²，即可求a²+b²+c²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2|x-1|-|2x+m|=|2x-2|-|2x+m|≤|（2x-2）-（2x+m）|=|m+2|
∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）_max=m+2，又f（x）的最大值為3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根據(jù)柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+（-2）²+1²]≥（a-2b+c）²，
∵a-2b+c=m=1，∴${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{6}$，
當(dāng)$\frac{a}{1}=\frac{-2}=\frac{c}{1}$，即$a=\frac{1}{6}，b=-\frac{1}{3}，c=\frac{1}{6}$時(shí)取等號(hào)，∴a²+b²+c²的最小值為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．