Question

17．地球的北緯45°圈上有A，B兩點，它們分別在東經(jīng)70°和東經(jīng)160°的經(jīng)線上，則A，B兩點的球面距離與其在此北緯45°圈上劣弧長的比值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由于A、B兩地在同一緯度圈上，可以先計算出它們的經(jīng)度差和45°的緯圓半徑，再求出A、B兩地對應的AB弦長，以及球心角，求出A、B兩點在緯度圈上的劣弧長、球面距離，即可得到結論．

解答 解：設北緯45°圈的半徑為r，
∵點A在東經(jīng)70°處，點B在東經(jīng)160°處，

∴甲、乙兩地對應點的緯圓半徑是r=Rcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，經(jīng)度差是90°，
∴A、B兩點在緯度圈上的劣弧長為$\frac{\sqrt{2}}{4}$πR，
∵AB=$\sqrt{2}$r=R，
∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴A、B兩點的球面距離為$\frac{1}{3}$πR，
∴A、B兩點在緯度圈上的劣弧長與A、B兩點的球面距離之比是$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}πR}{\frac{1}{3}πR}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了球面距離及相關計算，考查空間想象力，屬于中檔題