Question

17．地球的北緯45°圈上有A，B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)70°和東經(jīng)160°的經(jīng)線上，則A，B兩點(diǎn)的球面距離與其在此北緯45°圈上劣弧長(zhǎng)的比值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由于A、B兩地在同一緯度圈上，可以先計(jì)算出它們的經(jīng)度差和45°的緯圓半徑，再求出A、B兩地對(duì)應(yīng)的AB弦長(zhǎng)，以及球心角，求出A、B兩點(diǎn)在緯度圈上的劣弧長(zhǎng)、球面距離，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)北緯45°圈的半徑為r，
∵點(diǎn)A在東經(jīng)70°處，點(diǎn)B在東經(jīng)160°處，

∴甲、乙兩地對(duì)應(yīng)點(diǎn)的緯圓半徑是r=Rcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，經(jīng)度差是90°，
∴A、B兩點(diǎn)在緯度圈上的劣弧長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{2}}{4}$πR，
∵AB=$\sqrt{2}$r=R，
∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴A、B兩點(diǎn)的球面距離為$\frac{1}{3}$πR，
∴A、B兩點(diǎn)在緯度圈上的劣弧長(zhǎng)與A、B兩點(diǎn)的球面距離之比是$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}πR}{\frac{1}{3}πR}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了球面距離及相關(guān)計(jì)算，考查空間想象力，屬于中檔題