Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． （-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• D． $（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（{\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由已知可得，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在x≥0時為增函數(shù)，在x≤0時為減函數(shù)，若f（x）＞f（2x-1），則|x|＞|2x-1|，解得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^1+|x|-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$滿足f（-x）=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
當x≥0時，y=e^1+|x|=e^1+x為增函數(shù)，y=$\frac{1}{{1+{x^2}}}$為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在x≥0時為增函數(shù)，在x≤0時為減函數(shù)，
若f（x）＞f（2x-1），則|x|＞|2x-1|，
即x²＞4x²-4x+1，即3x²-4x+1＜0，
解得：x∈$（\frac{1}{3}，1）$，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調性，函數(shù)的奇偶性，絕對值不等式的解法，難度中檔．