Question

3．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（-1，$\frac{3}{2}$），右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l：x=my+1與橢圓C交于B、C兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）記△AOB和△AOC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，運(yùn)用橢圓的定義，可得a=2，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，討論m=0和m≠0時(shí)，|S₁-S₂|的表達(dá)式，由基本不等式可得最大值．

解答 解：（1）由題意可得c=1，
由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，
即為a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直線l方程為：x=my+1，
聯(lián)立C得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
當(dāng)m=0時(shí)，顯然|S₁-S₂|=0；
當(dāng)m≠0時(shí)，|S₁-S₂|=|$\frac{1}{2}$•2•y₁-$\frac{1}{2}$•2•（-y₂）|=|y₁+y₂|=$\frac{6|m|}{4+3{m}^{2}}$
=$\frac{6}{3|m|+\frac{4}{|m|}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3|m|•\frac{4}{|m|}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3|m|=$\frac{4}{|m|}$，即m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)，
綜合得m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，|S₁-S₂|的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，韋達(dá)定理以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．