Question

6．已知AB是拋物線x²=4y的一條焦點(diǎn)弦，若該弦的中點(diǎn)縱坐標(biāo)是3，則弦AB所在的直線方程是y=±x+1．

Answer 1

分析 由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出弦AB所在的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦中點(diǎn)坐標(biāo)求得直線的斜率得答案．

解答 解：由x²=4y，得拋物線焦點(diǎn)F（0，1），
由題意知直線的斜率存在，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不合題意；
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)弦AB所在的直線方程是y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得y²-（4k²+2）y+1=0，
則${y}_{1}+{y}_{2}=4{k}^{2}+2$，
∵弦的中點(diǎn)縱坐標(biāo)是3，∴4k²+2=6，即k=±1．
∴弦AB所在的直線方程是y=±x+1．
故答案為：y=±x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．