Question

4．如圖，多面體ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，直線DA⊥平面ABE，AE=BE，O為棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD⊥平面OCE；
（2）在線段BD上是否存在點(diǎn)F，使直線AF∥平面OCE？若存在，求線段DF的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥OE，AB⊥OE，又AB∩AD=A，則OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；由$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，則∠COB=∠ADB，而∠ADB+∠ABD=90°，可證BD⊥OC，從而證明BD⊥平面OCE．
（2）過(guò)A作AF⊥BD，垂足F，可得直線AF∥平面OCE，由勾股定理可求BD，cos∠ADB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由DF=DAcos∠ADB即可計(jì)算求值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）證明：
∵AD⊥平面ABE，OE?平面ABE，
∴AD⊥OE；
∵AE=BE，AO=BO，
∴AB⊥OE，又AB∩AD=A，
∴OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；
∵$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴∠COB=∠ADB，
而∠ADB+∠ABD=90°，
則∠COB+∠ABD=90°，于是∠OMB=90°，即BD⊥OC；
又OE∩OC=O，故直線BD⊥平面OCE．…（6分）
（2）在線段BD上存在點(diǎn)F，使直線AF∥平面OCE．
過(guò)A作AF⊥BD，垂足F，由（Ⅰ）知AF∥OC，OC?平面OCE，AF?平面OCE，可得直線AF∥平面OCE．
Rt△DAB內(nèi)，由勾股定理知BD=$2\sqrt{3}$，另有cos∠ADB=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
Rt△DAF內(nèi)，DF=DAcos∠ADB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．