Question

9．在△ABC中，a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C且滿足b²+c²-a²=bc，sinCcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則△ABC的形狀為（　�。�

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等邊三角形
• D． 等腰或直角三角形

Answer 1

分析 利用余弦定理可得A，再利用和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答 解：∵b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
sinCcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴sinCcos$（\frac{2π}{3}-C）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
化為：sinC$（-\frac{1}{2}cosC+\frac{\sqrt{3}}{2}sinC）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
tan2C=-$\sqrt{3}$，
∵C∈$（0，\frac{2π}{3}）$，2C∈$（0，\frac{4π}{3}）$，
∴2C=$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，∴B=π-A-C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC的形狀為等邊三角形．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．