Question

13．已知圓x²+y²=4，過點(diǎn)P（0，1）的直線l交該圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB面積的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 討論l斜率不存在和存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出方程求出圓心到直線的距離d，求出S_△OAB=$\sqrt{4-pntphzt^{2}}$•d，利用換元，配方法即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，S_△OAB=0，
當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)斜率為k，則
直線l的方程為y=kx+1，即kx-y+1=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|AB|=2$\sqrt{4-vhrfp75^{2}}$，
令t=k²+1（t≥1）
S_△OAB=$\sqrt{4-zhdv5pb^{2}}$•d=$\sqrt{\frac{4t-1}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{t}-2）^{2}+4}$，
∴t=1，△OAB面積的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及配方法的應(yīng)用，屬于中檔題．