Question

5．求函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-2{x}^{2}-8x+1}$（-3≤x≤1）的單調(diào)區(qū)間與值域．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)t=-2x²-8x+1，求出t在-3≤x≤1時的值域，再求y=${（\frac{1}{3}）}^{t}$的值域；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{-{2x}^{2}-8x+1}$的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-2{x}^{2}-8x+1}$（-3≤x≤1），
設(shè)t=-2x²-8x+1，-3≤x≤1；
∴t=-2（x+2）²+9，
當-3≤x≤1時，-9≤t≤9，
∴${（\frac{1}{3}）}^{9}$≤${（\frac{1}{3}）}^{t}$≤${（\frac{1}{3}）}^{-9}$，
即3^-9≤${（\frac{1}{3}）}^{t}$≤3⁹；
∴函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{t}$在x∈[1，3]上的值域是[3^-9，3⁹]；
又原函數(shù)是由y=${（\frac{1}{3}）}^{t}$和t=-2x²-8x+1兩個函數(shù)符合而成，
第一個函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，第二個函數(shù)在區(qū)間[-3，-2]上是單調(diào)增函數(shù)，
在區(qū)間（-2，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴函數(shù)y=${（\frac{1}{3}）}^{-{2x}^{2}-8x+1}$的單調(diào)減區(qū)間是[-3，-2]，單調(diào)增區(qū)間是（-2，1]．

點評 本題考查了指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用問題，求值域時要分兩步，第一步求出內(nèi)層函數(shù)在定義域上的值域，第二步求外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的值域，是綜合性題目．