Question

7．不等式a|x+$\frac{3}{2}$|-（a-1）≤a²+2-a|x-2|有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得a（|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|）≤a²+a+1=${（a+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 有解，當(dāng)a≤0時(shí)，不等式必有解．當(dāng)a＞0時(shí)，由|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|≤a+$\frac{1}{a}$+1=f（a），利用絕對(duì)值的意義求得f（a）≥$\frac{7}{2}$，由此求得a的范圍．

解答 解：不等式a|x+$\frac{3}{2}$|-（a-1）≤a²+2-a|x-2|有解，即 a（|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|）≤a²+a+1=${（a+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 有解，
故當(dāng)a≤0時(shí)，不等式必有解，現(xiàn)在討論a＞0的情況．
此時(shí)，不等式即|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|≤a+$\frac{1}{a}$+1=f（a），
|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-$\frac{3}{2}$、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為$\frac{7}{2}$，
∴f（a）≥$\frac{7}{2}$，即  a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{5}{2}$，∴a≥2時(shí)，或0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式有解．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞），
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．