Question

18．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，當(dāng)k為何值時(shí)，
（1）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$垂直；
（2）|k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程，求出k的值；
（2）根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)公式，得出關(guān)于k的二次函數(shù)，求出它的最小值以及對(duì)應(yīng)的k值．

解答 解：（1）∵k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$垂直，
∴（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$）=0；
即k${\overrightarrow{a}}^{2}$-k²$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow$•$\overrightarrow{a}$+k${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴9k-（k²+1）×3×2•cos120°+4k=0，
化簡(jiǎn)得3k²+13k+3=0，
解得k=$\frac{-13±\sqrt{133}}{6}$；   …7分
（2）∵|k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=k²${\overrightarrow{a}}^{2}$-4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$
=9k²-4k×3×2•cos120°+4×4
=9k²+12k+16
=（3k+2）²+12，
∴當(dāng)k=-$\frac{2}{3}$時(shí)，|k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|取得最小值為2$\sqrt{3}$． …15分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算與應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)求最值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．