Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且滿足S_n+a_n=2n．
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并推測a_n的表達式；
（2）用數(shù)學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

分析 （1）計算a₁，a₂，a₃，…．猜測a_n=2-$\frac{1}{2n}$．
（2）利用數(shù)學歸納法即可證明．

解答 解：（1）a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{15}{8}$，…．
猜測a_n=2-$\frac{1}{2n}$．
（2）①由（1）已得當n=1時，命題成立；
②假設n=k時，命題成立，即a_k=2-$\frac{1}{2k}$，
當n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-$\frac{1}{2k}$，a_k+1=2-$\frac{1}{2k+1}$，
即當n=k+1時，命題成立．（11分）
根據(jù)①②得n∈N₊時，a_n=2-$\frac{1}{2n}$都成立．

點評 本題考查了遞推關系、數(shù)學歸納法的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．