Question

4．已知函數(shù)y=f（x）的定義R在上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時f（x）=x+1，那么不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集是（　�。�

• A． $[{0，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪[{0，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪（{0，\frac{3}{2}}）$

Answer 1

分析 可設(shè)x＞0，從而有-x＜0，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)及x＜0時f（x）=x+1便可得出x＞0時，f（x）=x-1，這樣便可得出f（x）在（-∞，0），[0，+∞）上為增函數(shù)，并且$f（-\frac{1}{2}）=f（\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}$，討論x：x＜0時，原不等式可變成$f（x）＜f（-\frac{1}{2}）$，從而有$x＜-\frac{1}{2}$，同理可以求出x≥0時，原不等式的解，求并集即可得出原不等式的解集．

解答 解：設(shè)x＞0，-x＜0，則：f（-x）=-x+1=-f（x）；
∴f（x）=x-1；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+1}&{x＜0}\\{x-1}&{x≥0}\end{array}\right.$；
∴$f（-\frac{1}{2}）=f（\frac{3}{2}）=\frac{1}{2}$，且f（x）在（-∞，0），[0，+∞）上為增函數(shù)；
∴①若x＜0，由$f（x）＜\frac{1}{2}$得，f（x）$＜f（-\frac{1}{2}）$；
∴$x＜-\frac{1}{2}$；
②若x≥0，由f（x）$＜\frac{1}{2}$得，$f（x）＜f（\frac{3}{2}）$；
∴$0≤x＜\frac{3}{2}$；
綜上得，原不等式的解集為$（-∞，-\frac{1}{2}）∪[0，\frac{3}{2}）$．
故選：B．

點評 考查奇函數(shù)的定義，對于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的解析式，求對稱區(qū)間上的解析式的方法和過程，一次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．