Question

10．正方體ABCDA₁B₁C₁D₁的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于$\frac{1}{6}$的概率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出當(dāng)四棱錐M-ABCD的體積等于$\frac{1}{6}$時，點M到平面ABCD的距離等于 $\frac{1}{2}$，可得當(dāng)M到平面ABCD的距離小于 $\frac{1}{2}$時，四棱錐M-ABCD的體積小于 $\frac{1}{6}$．利用長方體、正方體的體積公式和幾何概型公式加以計算，可得所求概率

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴正方體的體積V=1×1×1=1．
當(dāng)四棱錐M-ABCD的體積小于$\frac{1}{6}$時，設(shè)它的高為h，
則$\frac{1}{3}$×12h＜$\frac{1}{6}$，解之得h＜$\frac{1}{2}$
則點M在到平面ABCD的距離等于$\frac{1}{2}$的截面以下時，四棱錐M-ABCD的體積小于$\frac{1}{6}$，
求得使得四棱錐M-ABCD的體積小于$\frac{1}{6}$的長方體的體積V'=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$
∴四棱錐M-ABCD的體積小于$\frac{1}{6}$的概率P=$\frac{V′}{V}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查幾何概型，概率的求法，給出正方體的棱長，求四棱錐的體積小于 $\frac{1}{6}$的概率．著重考查了空間幾何體的體積計算和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．