Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₁₃=91，等比數(shù)列{b_n}中首項b₁=3，公比q=2，且a₃是-42和b₅的等差中項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（II）c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，=2ⁿ+（-1）ⁿn．利用等比數(shù)列的前n項和公式、“分組求和”即可得出．

解答 解：（I）∵等比數(shù)列{b_n}中首項b₁=3，公比q=2，∴$_{n}=3×{2}^{n-1}$．
∴b₅=3×2⁴=48．
∵a₃是-42和b₅的等差中項．
∴2a₃=-42+b₅=-42+48，
解得a₃=3．
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，又S₁₃=91，
∴$\left\{\begin{array}{l}{13{a}_{1}+\frac{13×12}{2}d=91}\\{{a}_{1}+2d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，=2ⁿ+（-1）ⁿn．
∴數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n=$\frac{2（{2}^{2n}-1）}{2-1}$+[（-1+2）+（-3+4）+…+（1-2n+2n）]
=2²ⁿ⁺¹-2+n．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“分組求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．