Question

4．下列四個(gè)命題中是真命題的是（　�。�
①存在x∈（0，+∞），使不等武2^x＜3^x成立；
②不存在x∈（0，1），使不等式log₂x＜log₃x成立；
③對(duì)任意的x∈（0，1），不等式log₂x＜log₃x成立；
④對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式log₂x＜$\frac{1}{x}$成立．

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 利用特殊值法可判斷①②④；
③對(duì)任意的x∈（0，1），可知lnx＜0，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論

解答 解：①顯然存在x∈（0，+∞），使不等武2^x＜3^x成立，故正確；
②令x=$\frac{1}{2}$，log₂x=-1，log₃x＞log₃$\frac{1}{3}$=-1＞log₂x成立，故錯(cuò)誤；
③對(duì)任意的x∈（0，1），
0＜ln2＜ln3，
∴$\frac{1}{ln2}$＞$\frac{1}{ln3}$，
∴$\frac{lnx}{ln2}$＜$\frac{lnx}{ln3}$，即不等式log₂x＜log₃x成立，故正確；
④對(duì)任意的x∈（0，+∞），當(dāng)x=16時(shí)，log₂x=4，顯然不等式log₂x＜$\frac{1}{x}$成立是錯(cuò)誤的．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了特殊值方法的應(yīng)用和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．