Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為理數(shù)集，關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題：
①f（f（x））=0；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意的x恒成立；
④函數(shù)f（x）圖象上至少存在三個(gè)點(diǎn)A、B、C，使得△ABC為等邊三角形．
其中是真命題的序號(hào)是②③④（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1，x∈Q\\ f（0）=1，x∈{∁}_{R}Q\end{array}\right.$，
故①錯(cuò)誤；
函數(shù)f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$=f（x）恒成立，故②正確；
③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$=f（x）對任意的x恒成立，故③正確；
④對于任意x∈Q，A（x，1），B（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），C（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），是邊長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的等邊三角形，故④正確；　
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$的圖象和性質(zhì)，難度中檔．