Question

17．如圖，已知三棱柱ABC---A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別為CC₁，BC的中點，點P為直線A₁B₁上一點，且滿足$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，
（1）λ=$\frac{1}{2}$時，求直線PN與平面ABC所成角θ的正弦值  
（2）若平面PMN與平面ABC所成銳二面角為45⁰，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，求出$\overrightarrow{PN}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），平面ABC的一個法向量，然后利用直線與平面所成角的計算公式求解即可．
（2）取平面ABC的一個法向量為，求出平面PMN的一個法向量，利用向量的夾角公式求出λ．

解答 解：（1）建立以A點為空間坐標系原點，AB，AC，AA₁所在直線為x軸，y軸，z軸，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（ 0，1，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）
λ=$\frac{1}{2}$，P（$\frac{1}{2}$，0，1），$\overrightarrow{PN}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1）
平面ABC法向量為$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{PN}\;，\;\overrightarrow{A{A_1}}＞}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
（2）設P（λ，0，1），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$-λ，$\frac{1}{2}$，-1），
設平面PMN法向量為$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}}\right.$，
取$\overrightarrow n=（3\;，\;1+2λ\;，\;2-2λ）$
平面ABC法向量為（0，0，1），
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{|{2-2λ}|}}{{1-\sqrt{{3^2}+{{（1+2λ）}^2}+{{（2-2λ）}^2}}}}=\frac{{|{2-2λ}|}}{{\sqrt{14-4λ+8{λ^2}}}}$，
∴$λ=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的應用，二面角的向量求法，考查空間想象能力以及計算能力．