Question

20．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，求
（1）（x+1）²+y²的最大值和最小值；
（2）$\frac{y+1}{x+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=（x+1）²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點（-1，0）的距離的平方，結(jié)合圖象即可求最大值和最小值；
（2）設(shè)k=$\frac{y+1}{x+2}$，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點（-2，-1）的斜率，根據(jù)圖象即可求k最大值和最小值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3）．
（1）設(shè)z=（x+1）²+y²，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-1，0）的距離的平方，
由圖象知AD的距離最大，此時z=（2+1）²+3²=9+9=18，
D到直線BC的距離最小，此時D到直線2x+y-2=0的距離d=$\frac{|-2+0-2|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，
則z的最小值z=d²=$\frac{16}{5}$．
（2）設(shè)k=$\frac{y+1}{x+2}$，
則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點E（-2，-1）的斜率，
由圖象知BE的斜率最大，CE的斜率最小，
則k_BE=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$，k_CE=$\frac{0+1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
即k的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線的斜率以及兩點間的距離，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．