8.如圖所示,已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{4{y}^{2}}{75}$=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn),∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.

分析 通過橢圓方程可知F1F2=5,通過設(shè)PF1=x,則PF2=10-x,利用余弦定理計(jì)算可知x=5,進(jìn)而利用${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF1•PF2•sin∠F1PF2代入計(jì)算即得結(jié)論.

解答 解:∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{4{y}^{2}}{75}$=1,
∴F1F2=2$\sqrt{25-\frac{75}{4}}$=5,
設(shè)PF1=x,則PF2=10-x,
∵∠F1PF2=60°,
∴cos∠F1PF2=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}•P{F}_{2}}$,
∴cos60°=$\frac{{x}^{2}+(10-x)^{2}-25}{2x(10-x)}$,
化簡得:x2-10x+25=0,
解得:x=5,
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF1•PF2•sin∠F1PF2=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),利用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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等級(jí)頻數(shù)頻率
1ca
24b
390.45
420.1
530.15
合計(jì)201.00
(1)求a,b,c的值;
(2)從等級(jí)為4的2件日用品和等級(jí)為5的3件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率.

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