Question

8．如圖所示，已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{4{y}^{2}}{75}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 通過橢圓方程可知F₁F₂=5，通過設(shè)PF₁=x，則PF₂=10-x，利用余弦定理計(jì)算可知x=5，進(jìn)而利用${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{4{y}^{2}}{75}$=1，
∴F₁F₂=2$\sqrt{25-\frac{75}{4}}$=5，
設(shè)PF₁=x，則PF₂=10-x，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}•P{F}_{2}}$，
∴cos60°=$\frac{{x}^{2}+（10-x）^{2}-25}{2x（10-x）}$，
化簡得：x²-10x+25=0，
解得：x=5，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，利用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．