Question

19．如圖，某市有一條東西走向的公路l，現(xiàn)欲經(jīng)過公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m．在施工過程中發(fā)現(xiàn)在O處的正北1百米的A處有一漢代古跡．為了保護(hù)古跡，該市決定以A為圓心，1百米為半徑設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū)．為了連通公路l、m，欲再新建一條公路PQ，點(diǎn)P、Q分別在公路l、m上，且要求PQ與圓A相切．
（1）當(dāng)P距O處2百米時，求OQ的長；
（2）當(dāng)公路PQ長最短時，求OQ的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，然后利用直線與圓的相切列出關(guān)于關(guān)于q的方程解之即可；
（2）利用截距式方程給出直線的方程，然后利用直線與圓相切找到兩個待定系數(shù)間的關(guān)系，再利用勾股定理將PQ表示成關(guān)于q的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求其最值即可．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，直線l、m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B，連結(jié)AB，以1百米為單位長度，則圓A的方程為x²+（y-1）²=1，
（1）由題意可設(shè)直線PQ的方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}{q}=1$，即qx+2y-2q=0，（q＞2），
∵PQ與圓A相切，∴$\frac{{|{2-2q}|}}{{\sqrt{{q^2}+{2^2}}}}=1$，解得$q=\frac{8}{3}$，
故當(dāng)P距O處2百米時，OQ的長為$\frac{8}{3}$百米．
（2）設(shè)直線PQ的方程為$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$，即qx+py-pq=0，（p＞1，q＞2），
∵PQ與圓A相切，∴$\frac{{|{p-pq}|}}{{\sqrt{{q^2}+{p^2}}}}=1$，化簡得${p^2}=\frac{q}{q-2}$，則$P{Q^2}={p^2}+{q^2}=\frac{q}{q-2}+{q^2}$，
令$f（q）=\frac{q}{q-2}+{q^2}（q＞2）$，∴$f'（q）=2q-\frac{2}{{{{（q-2）}^2}}}=\frac{{2（q-1）（{q^2}-3q+1）}}{{{{（q-2）}^2}}}$（q＞2），
當(dāng)$2＜q＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$時，f'（q）＜0，即f（q）在$（2，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$上單調(diào)遞減；
當(dāng)$q＞\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$時，f'（q）＞0，即f（q）在$（\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，
∴f（q）在$q=\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$時取得最小值，故當(dāng)公路PQ長最短時，OQ的長為$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$百米．
答：（1）當(dāng)P距O處2百米時，OQ的長為$\frac{8}{3}$百米；
（2）當(dāng)公路PQ長最短時，OQ的長為$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$百米．

點(diǎn)評 本題考查了利用函數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用．以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基本思路，屬于基礎(chǔ)題．