Question

11．設(shè)函數(shù)，f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（2）若對(duì)任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值；
（2）由題意可知，函數(shù)f（x）-x在（0，+∞）上遞增，即該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最值問題來解．

解答 解：（1）由已知得$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{{x}^{2}}（x＞0）$．
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，∴此切線的斜率為0．
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}-\frac{k}{{e}^{2}}=0$，解得k=e．
∴$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{{x}^{2}}=\frac{x-e}{{x}^{2}}（x＞0）$，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=e時(shí)f（x）取得極小值$f（e）=lne+\frac{e}{e}=2$．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），極小值為2．
（2）條件等價(jià)于對(duì)任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂（*）恒成立．
設(shè)h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{k}{x}-x（x＞0）$．
∴（*）等價(jià)于h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
由$h′（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{{x}^{2}}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，
得$k≥-{x}^{2}+x=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}（x＞0）$恒成立．
所以$k≥\frac{1}{4}$ （ 對(duì)k=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{2}$時(shí)成立），
故k的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線問題）以及利用導(dǎo)數(shù)如何研究函數(shù)單調(diào)性、極值的基本思路，屬于基礎(chǔ)題型．