Question

1．設(shè)f（x）的定義域為D，若f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數(shù)：①f（x）在D上是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．現(xiàn)已知f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k為閉函數(shù)，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，1）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k為閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，即$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2a+1}+k}\\{b=\sqrt{2b+1}+k}\end{array}\right.$，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x$≥-\frac{1}{2}$，x≥k）的兩個不相等的實數(shù)根，由此能求出k的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k為閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2a+1}+k}\\{b=\sqrt{2b+1}+k}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程x=$\sqrt{2x+1}+k$的兩個實數(shù)根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x$≥-\frac{1}{2}$，x≥k）的兩個不相等的實數(shù)根，
①當(dāng)k$≤-\frac{1}{2}$時，$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+2）]-4（{k}^{2}-1）＞0}\\{f（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（2k+2）+{k}^{2}-1≥0}\\{\frac{2k+2}{2}＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得-1＜k≤$-\frac{1}{2}$，
②當(dāng)k$＞-\frac{1}{2}$時，$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+2）]^{2}-4（{k}^{2}-1）＞0}\\{f（k）={k}^{2}-（2k+2）k+{k}^{2}-1＞0}\\{\frac{2k+2}{2}＞k}\end{array}\right.$，無解，
綜上，k的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．