Question

1．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（π+x）=f（-x），對k∈Z，用I_k表示區(qū)間[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$]．已知當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）求f（x）在x∈I_k上的解析表達式；
（3）已知函數(shù)f（ωx）（ω＞0）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）是增函數(shù)，求實數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的定義進行轉(zhuǎn)化，即可證明f（x）是周期函數(shù)；
（2）結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系先求出一個周期內(nèi)的解析式，即可求f（x）在x∈I_k上的解析表達式；
（3）根據(jù)已知函數(shù)f（ωx）（ω＞0）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）是增函數(shù)，求出ωx的取值范圍．結(jié)合sinx的單調(diào)性進行求解即可求實數(shù)ω的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（π+x）=f（-x），
∴f（π+x）=f（-x）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為π的周期函數(shù)．
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，則-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∵當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx，
∴f（-x）=sin（-x）=-sinx，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=-sinx=f（x），
即f（x）=-sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
即函數(shù)在一個周期[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{-sinx，}&{x∈[-\frac{π}{2}，0]}\end{array}\right.$．
∵函數(shù)f（x）是周期為kπ的周期函數(shù)，
∴當x∈I_k上對應的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈[kπ，kπ+\frac{π}{2}]}\\{-sinx，}&{x∈[kπ-\frac{π}{2}，kπ]}\end{array}\right.$，k∈Z．
（3）若函數(shù)f（ωx）（ω＞0）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）是增函數(shù)，
則當0＜x＜$\frac{π}{3}$時0＜ωx＜$\frac{π}{3}$ω時，
由$\frac{π}{3}$ω$＜\frac{π}{2}$得0＜ω＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)周期性的定義以及函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．