Question

1．若0＜x₁＜x₂＜1，則下列判斷正確的有③．
①e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$＞lnx₂-lnx₁；②e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$＜lnx₂-lnx₁；③x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＞x₁e${\;}^{{x}_{2}}$；④x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＜x₁e${\;}^{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-lnx，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x），g（x）在（0，1）上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可比較．

解答 解：令f（x）=e^x-lnx，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴f′（x）的符號(hào)不確定，g′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上的單調(diào)性有增有減，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x₁）與f（x₂）無(wú)法比較大小，g（x₁）＞g（x₂），
∴e${\;}^{{x}_{2}}$-lnx₂與e${\;}^{{x}_{1}}$-lnx₁無(wú)法比較，$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$＞$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，
即x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＞x₁e${\;}^{{x}_{2}}$，
故答案為：③

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵在于想到構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)．