Question

5．已知遞增等比數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$，求數(shù)列{a_n²•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1）可知a_n=q^n-1，代入a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36配方化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知b_n=$\frac{n}{2}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），
則a_n=q^n-1，
∵a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36，
∴q⁴-2q⁶+q⁸=36，即（q⁴-q²）²=36，
∴q⁴-q²=6，
解得：q²=3或q²=-2（舍），
∴q=$\sqrt{3}$，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=${3}^{\frac{n-1}{2}}$；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
又∵a_n²=3^n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2}$•1+$\frac{2}{2}$•3+$\frac{3}{2}$•3²+…+$\frac{n}{2}$•3^n-1，
3S_n=$\frac{1}{2}$•3+$\frac{2}{2}$•3²+…+$\frac{n-1}{2}$•3^n-1+$\frac{n}{2}$•3ⁿ，
兩式相減得：（1-3）S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（3+3²+…+3^n-1）-$\frac{n}{2}$•3ⁿ
=$\frac{1}{2}$（1+3+3²+…+3^n-1）-$\frac{n}{2}$•3ⁿ
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{n}{2}$•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{1-3}$•（$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-$\frac{n}{2}$•3ⁿ）
=$\frac{1-{3}^{n}}{8}$+$\frac{n}{4}$•3ⁿ
=$\frac{1}{8}$+（$\frac{n}{4}$-$\frac{1}{8}$）•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．