Question

12．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF₂⊥x軸，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{c}{2}$，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，令x=c，求得|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，由橢圓的定義可得，|PF₁|=2a-$\frac{^{2}}{a}$，在直角△PF₁F₂中，運(yùn)用面積相等，可得內(nèi)切圓的半徑r，由條件化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF₂⊥x軸，
可得|F₁F₂|=2c，由x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，
由橢圓的定義可得，|PF₁|=2a-$\frac{^{2}}{a}$，
在直角△PF₁F₂中，$\frac{1}{2}$|PF₂|•|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$r（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|），
可得△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{\frac{^{2}}{a}•2c}{2a+2c}$=$\frac{1}{2}$c，
即有2b²=2（a²-c²）=a（a+c），
整理，得a=2c，
橢圓C的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，是中檔題．