Question

10．已知g（x）=x（2-x）（0＜x＜1），g（1）=0，若函數(shù)y=f（x）（x∈R）是以2為周期的奇函數(shù)，且在[0，1]上f（x）=g（x），畫出y=f（x）（-2≤x≤2）的圖象并求其表達(dá)式．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)的解析式即可．

解答 解：∵在[0，1]上f（x）=g（x），
∴當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=g（x）=x（2-x），
當(dāng)x=1時，f（1）=g（1）=0，
∵y=f（x）（x∈R）是以2為周期的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時，f（0）=0，
當(dāng)x=-1時，f（-1）=-f（1）=0．
當(dāng)x=2時，f（2）=f（0）=0，
若-1＜x＜0，則0＜-x＜1，
此時f（-x）=-x（2+x）=-f（x），
∴f（x）=x（2+x），-1＜x＜0，
若1＜x＜2，則-1＜x-2＜0，
則f（x）=f（x-2）=（x-2）x，1＜x＜2，
若-2＜x＜-1，則1＜-x＜2，
則f（-x）=-x（-x-2）=-f（x），
即f（x）=-x（x+2），-2＜x＜-1
綜上：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（x+2），}&{-2≤x＜-1}\\{x（2+x），}&{-1＜x≤0}\\{x（2-x），}&{0＜x＜1}\\{x（x-2），}&{1＜x≤2}\\{0}&{x=±1}\end{array}\right.$，
對應(yīng)的圖象為：

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵．