Question

17．求下列曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）與橢圓x²+4y²=16有相同焦點，過點$P（\sqrt{5}，\sqrt{6}）$；
（2）與橢圓$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1有相同的焦點，直線y=$\sqrt{3}$x為一條漸近線，求雙曲線C的方程．
（3）焦點在直線3x-4y-12=0的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）（2）利用待定系數(shù)法求方程；
（3）先根據(jù)拋物線是標(biāo)準(zhǔn)方程可確定焦點的位置，再由直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點可得到焦點坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）橢圓x²+4y²=16，可化為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦點（±2$\sqrt{3}$，0）
設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16+m}+\frac{{y}^{2}}{4+m}$=1，
代入$P（\sqrt{5}，\sqrt{6}）$，可得$\frac{5}{16+m}+\frac{6}{4+m}$=1，
∴m=4，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{8}=1$
（2）橢圓$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1的焦點為（±2，0），∴c=2，
∵直線y=$\sqrt{3}$x為一條漸近線，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$；
（3）因為是標(biāo)準(zhǔn)方程，所以其焦點應(yīng)該在坐標(biāo)軸上，
所以其焦點坐標(biāo)即為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點
所以其焦點坐標(biāo)為（4，0）和（0，-3）
當(dāng)焦點為（4，0）時可知其方程中的P=8，所以其方程為y²=16x，
當(dāng)焦點為（0，-3）時可知其方程中的P=6，所以其方程為x²=-12y，
綜上所述，拋物線的方程為y²=16x或x²=-12y．

點評 本題考查曲線方程，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．