Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+21nx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)g（x）=（x²-2x）e^x．求證；對(duì)任意x₁∈（0，2]，均存在∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x），（x＞0）；解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x），從而求導(dǎo)確定函數(shù)的最值，從而由最值確定a的取值范圍

解答 解：（1）a=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{7}{3}$x+2lnx，（x＞0），
f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{（2x-3）（x-2）}{3x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{3}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{3}{2}$＜x＜2，
∴f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）遞增，在（$\frac{3}{2}$，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（2）f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，（x＞0）；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜2，增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）和（2，+∞），減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，2）．
由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x）．
由已知，g_max（x）=0，
當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0，ax-1＜0，在區(qū)間（0，2]上，f′（x）＞0；f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得：f_max（x）=f（$\frac{1}{a}$）=-2-$\frac{1}{2a}$-2lna．
由a＞$\frac{1}{2a}$可知lna＞ln$\frac{1}{2}$＞ln$\frac{1}{e}$=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f_max（x）＜0，
綜上所述，a＞ln2-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的處理方法，屬于中檔題．