Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1，試討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出f′（x），分a=0，a＜0，0＜a＜$\frac{1}{2}$，a=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜a＜1，a≥1討論起單調(diào)性，分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0的區(qū)間即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1，x＞0
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$-\frac{a{x}^{2}-x+1-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=-$\frac{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}{{x}^{2}}$
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{1-a}{a}$＜0時(shí)，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1-a}{a}$＞1，∴f（x）在（0，1），（$\frac{1-a}{a}$，+∞）上單調(diào)遞遞減，在（1，$\frac{1-a}{a}$）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，$\frac{1-a}{a}$=1，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，0＜$\frac{1-a}{a}$＜1，∴f（x）在（0，$\frac{1-a}{a}$）（1，+∞）上單調(diào)遞遞減，在（$\frac{1-a}{a}$，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≥1時(shí)，$\frac{1-a}{a}$＜0，∴f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，熟練分類(lèi)討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．