Question

2．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求二面角B-FC₁-B₁的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部及邊界上，且EP∥平面BFC₁，求|EP|的最小值．

Answer 1

分析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出B，C₁，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，
（Ⅰ）求出面FC₁B₁的一個(gè)法向，面BFC₁的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B-FC₁-B₁的余弦值．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），利用EP∥平面BFC₁，推出$\overrightarrow{EP}⊥\overrightarrow{n_2}$，求出x，y的關(guān)系，利用空間距離結(jié)合二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
則$B（1，1，0），{C_1}（0，1，1），E（\frac{1}{2}，0，1），F(xiàn)（1，\frac{1}{2}，1）$．
（Ⅰ）由圖可取面FC₁B₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_1}=（{0，0，1}）$；$\overrightarrow{B{C_1}}=（{-1，0，1}），\overrightarrow{BF}=（{0，-\frac{1}{2}，1}）$，設(shè)面BFC₁的法向量為$\overrightarrow{n_2}$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{B{C_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{n_2}=（{1，2，1}）$．
所以$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
即二面角B-FC₁-B₁的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（Ⅱ）因?yàn)镻在正方形ABCD內(nèi)部及邊界上，所以可設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），
則$\overrightarrow{EP}=（{x-\frac{1}{2}，y，-1}）$．
因?yàn)镋P∥平面BFC₁，所以$\overrightarrow{EP}⊥\overrightarrow{n_2}$，即$（{x-\frac{1}{2}，y，-1}）•$（1，2，1）=0，
所以$x=-2y+\frac{3}{2}$，∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴$0≤-2y+\frac{3}{2}≤1，0≤y≤1$，∴$\frac{1}{4}≤y≤\frac{3}{4}$，
所以$|{\overrightarrow{EP}}|=\sqrt{{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}+{y^2}+1}$=$\sqrt{{{（{2y-1}）}^2}+{y^2}+1}=\sqrt{5{y^2}-4y+2}=\sqrt{5{{（{y-\frac{2}{5}}）}^2}+\frac{6}{5}}$，
當(dāng)$y=\frac{2}{5}$時(shí)，${|{\overrightarrow{EP}}|_{min}}=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題看v我沒(méi)覺(jué)得平面角的求法，空間距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．