Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，試討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再求出f'（2）的值，也就是切線的斜率，問題得以解決．
（2）分①a=0時(shí)，②0＜a＜

1

2

時(shí)，③a=

1

2

時(shí)，④

1

2

＜a＜1時(shí)，⑤a=1時(shí)進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)y=lnx+x+

2

x

-1(x＞0)，
∴y′=

1

x

+1-

2

x2

，
∵f'（2）=1，
∴切線方程：y=x+ln2，
（2）y′=-

(x-1)(ax+a-1)

x2

（x＞0）
①a=0時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
②0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，(1，

1-a

a

)單調(diào)遞增，在(

1-a

a

，+∞)單調(diào)遞減；
③a=

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
④

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在(0，

1-a

a

)單調(diào)遞減，在(

1-a

a

，1)單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
⑤a=1時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與切線方程的問題以及函數(shù)的單調(diào)性的問題，關(guān)鍵是分類討論的問題．屬于較基礎(chǔ)題．