Question

【題目】已知函數(shù)：

(I)當(dāng)時(shí)，求的最小值；

(II)對于任意的都存在唯一的使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，見解析（II）

【解析】

(I)求導(dǎo)后,通過對的討論,得到函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得最小值;

(II)對于任意的都存在唯一的使得,得的值域是的值域的子集,求出兩個(gè)函數(shù)的值域后列式可求得.，注意的唯一性滿足

解：（I）

時(shí)，遞增，,

時(shí)，遞減，

時(shí)，時(shí)遞減，

時(shí)遞增，

所以

綜上，當(dāng)；

當(dāng)

當(dāng)

（II）因?yàn)閷τ谌我獾?/span>都存在唯一的使得成立,

所以的值域是的值域的子集.

因?yàn)?/span>

遞增，的值域?yàn)?/span>

（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

又，

所以在[1,e]上的值域?yàn)?/span>,

所以

即

（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，且，

所以只需

即，所以

（iii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，且，

所以不合題意.

綜合以上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.