Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$ax³，函數(shù)g（x）=f（x）+2e^x（x-1），函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）．
（1）當(dāng)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）時(shí)為減函數(shù)，求a的范圍；
（2）若a=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
①求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：g′（x）≥1+lnx．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)得f′（x）=x-2ax²=x（-2ax+1），利用直線的性質(zhì)，求a的范圍．
（2）①求導(dǎo)，得g′（x）=x（1-2ex+2e^x），只需判斷后一表達(dá)式的正負(fù)．一般都是構(gòu)造函數(shù)，利用求極值的方法判斷．
②把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的極值，求出最值．

解答 解：（1）由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）時(shí)為減函數(shù)
∴f′（x）=x-2ax²=x（-2ax+1）≤0  x∈（1，+∞）
∴a＞0且-2a×1+1≤0
∴a≥$\frac{1}{2}$
（2）①g（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$ex³+2e^x（x-1）
∴g′（x）=x（1-2ex+2e^x）
令h（x）=1-2ex+2e^x
h′（x）=-2e+2e^x=2（e^x-e）
當(dāng)x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增
∴h（x）≥h（1）=1＞0
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減
②x（1-2ex+2e^x）≥1+lnx   x＞0
∴1-2ex+2e^x≥$\frac{1+lnx}{x}$
只需證$\frac{1+lnx}{x}$≤1
令M（x）=$\frac{1+lnx}{x}$
∴M′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$
當(dāng)x∈（0，1），M′（x）＞0，M（x）遞增
當(dāng)x∈（1，∞），M′（x）＜0，M（x）遞減
∴M（x）≤M（1）=1
∴1-2ex+2e^x≥$\frac{1+lnx}{x}$
故g′（x）≥1+lnx．

點(diǎn)評(píng) 考察了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，極值的判定，恒成立問(wèn)題．