Question

6．已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|+|AF|的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{37}$+4
• B． $\sqrt{37}$-4
• C． $\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{37}$+2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，求出雙曲線的a，b，c，運(yùn)用雙曲線的定義可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|-2$\sqrt{5}$，考慮A在左支上運(yùn)動(dòng)到與P，F(xiàn)'共線時(shí)，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A在雙曲線的左支上，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=3，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，
即有F（3，0），F(xiàn)'（-3，0），
由雙曲線的定義可得|AF'|-|AF|=2a=2$\sqrt{5}$，
即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|-2$\sqrt{5}$，
當(dāng)A在左支上運(yùn)動(dòng)到P，A，F(xiàn)'共線時(shí)，
|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|=$\sqrt{（3+3）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
則有|AP|+|AF|的最小值為$\sqrt{37}$-2$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線上一點(diǎn)到一定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離和的最小值，注意運(yùn)用雙曲線的定義和三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．