Question

16．如圖，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC將梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．
（1）證明：AC∥平面BEF；
（2）求三棱錐D-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取BF中點為M，AC與BD交點為O，連結(jié)MO，ME，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得四邊形OCEM為平行四邊形，然后利用線面平行的判定得答案；
（2）由線面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面DEF，然后把三棱錐D-BEF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐B-DEF的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，記BF中點為M，AC與BD交點為O，
連結(jié)MO，ME，
由題設(shè)知，$CE=\frac{1}{2}DF$且CE∥DF，$MO=\frac{1}{2}DF$且MO=$\frac{1}{2}DF$，
即CE=MO且CE∥MO，知四邊形OCEM為平行四邊形，
有EM∥CO，即EM∥AC，
又AC?平面BEF，EM?平面BEF，
∴AC∥平面BEF；
（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面DEF，
三棱錐D-BEF的體積為${V}_{D-BEF}={V}_{B-DEF}=\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了多面體體積的求法，訓(xùn)練了等積法求三棱錐的體積，是中檔題．