Question

20．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-$\sqrt{3}$，0），長軸長為4，設(shè)點(diǎn)A（3，4）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由已知可得：2a=4，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），則x=$\frac{3+{x}_{0}}{2}$，y=$\frac{4+{y}_{0}}{2}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-3}\\{{y}_{0}=2y-4}\end{array}\right.$，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由已知可得：2a=4，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），
則x=$\frac{3+{x}_{0}}{2}$，y=$\frac{4+{y}_{0}}{2}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-3}\\{{y}_{0}=2y-4}\end{array}\right.$，
代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：$\frac{（2x-3）^{2}}{4}$+（2y-4）²=1．
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程為$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{（y-2）^{2}}{\frac{1}{4}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．