Question

8．函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；
（Ⅱ）設(shè)x＜0，則-x＞0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的解析式即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=${{x}_{1}}^{2}$+2x₁-${{x}_{2}}^{2}$-2x₂
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2），
∵x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=x²-2x=f（x），
即x＜0時(shí)，f（x）=x²-2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，求函數(shù)的解析式問題，是一道基礎(chǔ)題．